（2003•上海）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴上的两点，点...

（2003•上海）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴上的两点，点A在点B的左侧，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）如图情况下：a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=-4，AB=4 manfen5.com 满分网

，求a、c的值．

（1）此题较简单，根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与y轴交于正半轴，即a、c同号．（2）当CO2=OA•OB时，可用c表示出OC，用a、c表示出OA•OB，代入上式即可求得a、c是否为倒数关系．（3）此题可沿用（2）的思路，首先将b值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何a、c的倒数关系，即可求得a、c的值．【解析】（1）由图可知：当抛物线开口向下，即a＜0时，c＜0；当抛物线开口向上，即a＞0时，c＞0；因此a、c同号．（2）设A（m，0），B（n，0），抛物线的解析式y=ax2+bx+c中，令y=0，得：ax2+bx+c=0，故OA•OB=mn=；而OC2=c2，若OA•OB=OC2，则：=c2，解得ac=1；所以a、c互为倒数．（3）由题意知：y=ax2-4x+，则：m+n=，mn=；若AB=4，即AB2=48，所以：（n-m）2=48，即（m+n）2-4mn=48， =48，解得a=±；故c==±2；因此a、c的值分别为：、2或-、-2．

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考点分析：

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（2）连接BD，求tan∠BDC的值；
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（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕y₁所在直线的解析式；
（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．
①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=- manfen5.com 满分网

x²+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．
（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想． manfen5.com 满分网

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试题属性

题型：解答题
难度：中等