(2003•山西)如图,已知圆心A(0,3),⊙A与x轴相切,⊙B的圆心在x轴的正半轴上,且⊙B与⊙A外切于点P,两圆的公切线MP交y轴于点M,交x轴于点N.
(1)若sin∠OAB=
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,求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式.
(2)若⊙A的位置大小不变,⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动,并使⊙B与⊙A始终外切,过M作⊙B的切线MC,切点为C,在此变化过程中探究:
①四边形OMCB是什么四边形,对你的结论加以证明.
②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在,表示出来;若不存在,说明理由.
考点分析:
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(2003•陕西)如图,在直角坐标系中,以点A(
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,0)为圆心,以
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为半径的圆与x轴交于B、C两点,与y轴交于D、E两点.
(1)求D点坐标.
(2)若B、C、D三点在抛物线y=ax
2+bx+c上,求这个抛物线的解析式.
(3)若⊙A的切线交x轴正半轴于点M,交y轴负半轴于点N,切点为P,∠OMN=30°,试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点?说明理由.
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(2003•汕头)已知抛物线y=-
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x
2+(m+3)x-(m-1).
(1)求抛物线的顶点坐标(用m表示);
(2)设抛物线与x轴的两个交点为A(x
1,0)、B(x
2,0),与y轴交点为C,若∠ABC=∠BAC,求m的值;
(3)在(2)的条件下,设Q为抛物线上的一点,它的横坐标为1,试问在抛物线上能否找到另一点P,使PC⊥QC?若点P存在,求点P的坐标;若点P不存在,请说出理由.(请在右方直角坐标系中作出大致图形)
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(2003•上海)已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴上的两点,点A在点B的左侧,二次函数y=ax
2+bx+c(a≠0)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.
(1)如图情况下:a、c的符号之间有何关系?
(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项,试证a、c互为倒数;
(3)在(2)的条件下,如果b=-4,AB=4
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,求a、c的值.
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(2003•绍兴)已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且图象过点(-3,-2).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设此二次函数的图象与x轴交于A,B两点,O为坐标原点,求线段OA,OB的长度之和.
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(2003•深圳)如图,已知A(5,-4),⊙A与x轴分别相交于点B、C,⊙A与y轴相且于点D,
(1)求证过D、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)连接BD,求tan∠BDC的值;
(3)点P是抛物线顶点,线段DE是直径,直线PC与直线DE相交于点F,
∠PFD的平分线FG交DC于G,求sin∠CGF的值.
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