Question

（2003•南昌）抛物线的解析式y=ax²+bx+c满足如下四个条件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-3；a＜b＜c
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．
①在第一象限内，这条抛物线上有一点P，AP交y轴于点D，当OD=1.5时，试比较S_△APC与S_△AOC的大小．
②在x轴的上方，这条抛物线上是否存在点Pn，使得S_△APnC=S_△AOC？若存在，请求出点Pn的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知了四个条件：abc=0 ①；a+b+c=3②；ab+bc+ca=-3③；a＜b＜c④．
根据①可知b=0或c=0（a≠0），那么本题可分两种情况进行讨论：
一：当b=0，可联立②③，求出a，c的值，然后根据④判断出符合条件的a，c的值，进而可求出抛物线的解析式．
二：当c=0时，方法同一．
综合两种情况可得出抛物线的解析式．
（2）①比较S△APC和S△AOC的大小实际就是比较△DPC和△AOD的面积．
△AOD中，根据OA，OD的长，可求出△AOD的面积．
△DPC中，可以CD为底边，P点的纵坐标为高，
过P作PG⊥x轴于G，OG就是△DPC的高．
可根据相似三角形ADO和APG，得出关于OD，PG，OA，OG的比例关系式．
设出P点的坐标，即可根据所得的比例关系式求出P点的坐标，从而可求出△DPC的面积．
然后比较△DPC和△AOD的面积即可得出S△APC和S△AOC的大小．
②本题要分两种情况进行讨论：
当P点在第一象限时，解法同①，只不过要设出P点的坐标和OD的长，其他解法基本一样，只是最后不是比较大小，而是得出一个等量关系．根据这个等量关系来求P点的坐标．
可分别过C，A作坐标轴的平行线，可得出一个矩形，设两条平行线的交点为Q，那么△AQC与△AOC的面积相等，而P在△ACQ内，因此△ACP的面积总小于△ACQ的面积．因此△ACP的面积不会和△ACO的面积相等．此种情况不成立．
【解析】
（1）∵a≠0，abc=0，
∴bc=0
当b=0时：
由，
得，
解得．
或
∵a＜b＜c．
∴（不合题意，舍去）
∴a=-1，b=0，c=4
＜2＞当c=0时
由，
得
解之得．
或，
∵a＜b＜c；
∴和，都不合题意，舍去．
∴所求的抛物线解析式为y=-x2+4．

（2）①在y=-x2+4中，当y=0时，x=±2；当x=0时，y=4．
∴A、B、C三点的坐标分别为（-2，0），（2，0），（0，4）
过P作PG⊥x轴于G，

设点P坐标为（m，n）
∵点P是这条抛物线上第一象限内的点
∴m＞0，n＞0，n=-m2+4
∴PG=-m2+4，OA=2，AG=m+2
∵OD∥PG，OD=1.5
∴=
即=
解得m1=，m2=-2（不合题意，舍去）
∴OG=
又CD=OC-OD=4-1.5=2.5
S△PDC=•CD•OG=××=
S△AOD=•OA•OD=××2==
∴S△PDC＞S△AOD
又∵S△APC=S△PDC+S△ADC，S△AOC=S△AOD+S△ADC
∴S△APC＞S△AOC
②分两种情况讨论：
在第一象限内，设在抛物线上存在点Pn（m，n），使得S△APnC=S△AOC．
过Pn作PnM⊥x轴于点M，

则m＞0，n＞0，n=-m2+4
OM=m，PnM=-m2+4，OA=2，AM=m+2
设APn交y轴于点Dn，设ODn=t
∵ODn∥PnM，
∴=
即
化简为mt+2t=8-2m2，DnC=OC-ODn=4-t
S△AODn=OA•ODn=×2×t=t；
S△PnCDn=CDn•OM=（4-t）×m；
∵S△AOC=S△APnC
∴S△AODn=S△PnCDn
即t=（4-t）×m，mt+2t=4m
将mt+2t=4m代入mt+2t=8-2m2中有8-2m2=4m
整理得m2+2m-4=0，m1=-1，m2=-1-
∵m＞0，
∴m2=-1-（不合题意，舍去）
∴m=-1，
此时n=-m2+4=-（-1）2+4=2-2
∴存在点Pn坐标为（-1，2-2），
使得S△APnC=S△AOC在第二象限内，这条抛物线上任取一点Pnn，连接PnnA，PnnC，分别过点A作直线l1垂直x轴，过点C作直线l2垂直于y轴，l1与l2相交于Q点，则四边形QAOC是矩形，S△AQC=S△AOC．

设Pnn点坐标为（mn，nn）
则有-2＜mn＜0
∵nn=-mn2+4
∴0＜nn＜4
∴点Pnn在矩形QAOC内，又易知Pnn在△AQC内
∴S△APnC＜S△AQC，S△APnC＜S△AOC
∴在第二象限内这条抛物线上不存在点Pnn，使S△APnC=S△AOC．