Question

（2003•茂名）已知抛物线y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常数）
（1）通过配方，写出抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）求证：不论k取任何实数，抛物线的顶点都在某一次函数的图象上．并指出此一次函数的解析式；
（3）设此抛物线与y轴的交点为A（0，1），其顶点为B．试问：在x轴上是否存在一点P，使△ABP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简述理由．

Answer

（1）把函数关系式化为顶点式y=-x2+2kx=k2+k+1=-（x-k）2+k+1，可得抛物线的顶点坐标是（k，k+1），对称轴是x=k．
（2）因把抛物线的顶点（k，k+1），写成方程组，消去k得，y=x+1，由此可见函数y=x+1是所求函数的解析式．
（3）把点A（0，1），代入二次函数可知，1=-k2+k+1，解得k=0或k=1，分别把k值代入题中确定，当k=1时，k+1=2，他的顶点为B（1，2），取AP+PB最小，点P为所求的点．设直线A′B的解析式为y=ax+b，把点A′（0，-1），B（1，2），代入解析式可得，解得y=3x-1，因为点P在x轴上，所以当y=0时，x=，所以当点p的坐标为（，0）时，△ABP的周长最小．
【解析】
（1）因为y=-x2+2kx-k2+k+1=-（x-k）2+k+1，
所以抛物线的顶点坐标是（k，k+1），对称轴是x=k．

（2）因为抛物线的顶点为（k，k+1），
所以，
消去k得，y=x+1
由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点（k，k+1）都满足函数y=x+1，
即在一次函数y=x+1的图象上．
所以函数y=x+1是所求函数的解析式．

（3）符合条件的点P存在．
因为点A（0，1）_在抛物线上，
所以，1=-k2+k+1，
解得k=0或k=1，
①当k=0时，k+1=1，所以它的顶点是B（0，1）与点A重合，不合题意，舍去．所以k≠0
②当k=1时，k+1=2，他的顶点为B（1，2），
因为点A、B已经确定，所以AB的长度为定值，
所以要使△ABP的周长最小，只须AP+PB的和最小．
此时，取AP+PB最小，所以点P为所求的点，
设直线A′B的解析式为y=ax+b，它过点A′（0，-1），B（1，2），
所以，
解得，
所以y=3x-1，
因为点P在x轴上，所以当y=0时，x=，
所以当点p的坐标为（，0）时，△ABP的周长最小．