(2003•黄石)先阅读下面一段材料,再完成后面的问题:
材料:过抛物线y=ax
2(a>0)的对称轴上一点(0,-
)作对称轴的垂线l,则抛物线上任意一点P到点F(0,
)的距离与P到l的距离一定相等,我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线,如y=x
2的焦点为(0,
).
问题:若直线y=kx+b交抛物线y=
x
2于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l,垂直足分别为C、D(如图).
①求抛物线y=
x
2的焦点F的坐标;
②求证:直线AB过焦点时,CF⊥DF;
③当直线AB过点(-1,0),且以线段AB为直径的圆与准线l相切时,求这条直线对应的函数解析式.
考点分析:
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(2003•吉林)如图,直线AB过点A(m,0),B(0,n)(m>0,n>0).反比例函数y=
的图象与AB交于C、D两点.P为双曲线y=
上任一点,过P作PQ⊥x轴于Q,PR⊥y轴于R.请分别按(1)、(2)、(3)各自的要求解答问题.
(1)若m+n=10,n为何值时△AOB面积最大,最大值是多少?
(2)若S
△AOC=S
△COD=S
△DOB,求n的值;
(3)在(2)的条件下,过O、D、C三点作抛物线,当该抛物线的对称轴为x=1时,矩形PROQ的面积是多少?
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(2003•仙桃)B题(油田考生做)如图,直线经过A(1,0),B(0,1)两点,点P是双曲线
(x>0)上任意一点,PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M、N,PM、PN的延长线与直线AB分别交于点E、F.
(1)求证:AF•BE=1;
(2)若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点,求公共点坐标.
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(2003•江西)抛物线的解析式y=ax
2+bx+c满足如下四个条件:abc=0;a+b+c=3;ab+bc+ca=-4;a<b<c.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(A在B的左边),与y轴的交点为C.P是抛物线上第一象限内的点,AP交y轴于点D,当OD=1.5时,试比较S
△AOD与S
△DPC的大小.
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(2003•金华)已知二次函数y=ax
2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点(A点在原点左侧,B点在原点右侧),与y轴交于C点.若AB=4,OB>OA,且OA、OB是方程x
2+kx+3=0的两根.
(1)请求出A,B两点的坐标;
(2)若点O到BC的距离为
,求此二次函数的解析式;
(3)若点P的横坐标为2,且△PAB的外心为M(1,1),试判断点P是否在(2)中所求的二次函数图象上.
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(2003•荆门)如图,二次函数y=x
2经过三点A、B、O,其中O为坐标原点.点A的坐标为(1,1),∠BAO=90°,AB交y轴于点C.
(1)求点C、点B坐标;
(2)若二次函数y=ax
2+bx+c(a≠0)的图象经过A、B两点,且对称轴经过Rt△BAO的外接圆圆心,求该二次函数解析式;
(3)若二次函数y=ax
2+bx+c(a>0)的图象经过A、B两点,且与x轴有两个不同的交点,试求出满足此条件的一个二次函数的解析式.
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