Question

（2003•黄冈）已知经过A、B、C三点的二次函数图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t取值范围；
（3）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

Answer

（1）根据图象可以知道A，B，C三点的坐标已知，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．进而求出顶点M的坐标．
（2）根据待定系数法可以求出直线MB的解析式，设NQ的长为t，即N点的纵坐标是t，把x=t代入解析式就可以求出横坐标，四边形NQAC的面积s=S△AOC+S梯形OQNC，可以用t分别表示出△AOC和梯形OQNC的面积，因而就得到s与t之间的函数关系式．
（3）可以补成的矩形有两种情况，即图1，的情况，易得未知顶点坐标是点D（-1，2）；
以点A、点C为矩形的两个顶点，第三个顶点时，落在矩形这一边AC的对边上，如下图2，易证Rt△HOC∽Rt△COA，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出OH的长，根据直线平行的关系利用待定系数法就可以求出直线AF与直线AC的解析式，两函数的交点，就是满足条件的点．
【解析】
（1）设这个二次函数的解析式为
y=a（x+1）（x-2），（1分）
把点C（0，2）坐标代入其中，求得a=-1，
y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2=-（x-）2+
∴这个二次函数的解析式为：
y=-x2+x+2（3分）
顶点M的坐标为M（，）；（4分）
[也可设为一般式y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入解出]

（2）设线段BM所在直线的解析式为：y=kx+b，（5分）
分别把B（2，0）、M（，）坐标代入其中，
解得k=-，b=3，
∴y=-x+3．
若N的坐标为（x，t），则得t=-x+3，
解得x=2-t，（6分）
由图形可知：s=S△AOC+S梯形OQNC（7分）
=×1×2+（2+t）（2-t）
化简整理得s=-t2+t+3，（8分）
其中0＜t＜；（9分）

（3）以点O、点A（或点O、点C）为矩形的两个顶点，
第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
如下图1，此时易得未知顶点坐标是点D（-1，2）；（10分）
以点A、点C为矩形的两个顶点，第三个顶点（即点O）
落在矩形这一边AC的对边上，如下图2，此时
未知顶点分别为点E、点F．（11分）
它们的坐标求解如下：
∵ACEF为矩形，
∴∠ACE为直角，延长CE交x轴于点H，
则易得Rt△HOC∽Rt△COA，
∴，求得OH=4，
∴点H的坐标H（4，0）．可求得线段CH所在直线的
解析式为：y=-x+2；（12分）
线段AC所在直线的
解析式为：y=2x+2，线段EF所在直线过原点且与
线段AC所在直线平行，从而可得线段EF所在直线的
解析式为：y=2x；（13分）
线段AF所在直线与直线CH平行，
设直线AF的解析式为：y=-x+m，
把A（-1，0）坐标代入，求得m=-，
∴直线AF为：y=-x-．
∵点E是直线CH与直线EF的交点；
点F是直线AF与直线EF的交点，
∴得下面两个方程组：
和，
解得E（，），F（-，-）．（14分）
∴矩形的未知顶点为（-1，2）或（，）、（-，-）．