Question

（2003•海南）已知抛物线y=ax²+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x=-1，求此抛物线的解析式；
（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；
（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．

Answer

（1）可将A、M的坐标代入抛物线的解析式中，用a替换掉b、c的值，再根据抛物线的对称轴为-1，即可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴在y轴左侧，即抛物线对称轴方程小于0，由此可得出a的取值范围．
（3）可设出B、C的坐标，如果∠BAC=90°，在直角三角形BAC中，可根据射影定理得出OA2=OC•OB，据此可得出a的值．
【解析】
将A、M的坐标代入抛物线的解析式中有：
，
解得：
∴抛物线的解析式为y=ax2-（2+2a）x+1．
（1）∵x=-=-1，
∴=-1，
解得a=-．
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+1．
（2）由题意知：x=-＜0，即＜0；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0
∴1+a＞0，且a＜0
∴-1＜a＜0．
（3）设B（x1，0），C（x2，0），x1＜x2；
∵x1x2=，且a＜0．
∴x1x2＜0，即B在x轴负半轴，C在x轴正半轴；
∴OB=-x1，OC=x2．
∵∠BAC=90°，
在直角三角形BAC中，AO⊥BC，根据射影定理可得：
OA2=OB•OC=-x1•x2=1，即-=1，a=-1．