Question

（2003•桂林）如图，AC=6，B是AC上的一点，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，过点B作BD⊥AC，交半圆于点D，设以AB为直径的圆的圆心为O₁，半径为r₁；以BC为直径的圆的圆心为O₂，半径为r₂．
（1）求证：BD²=4r₁r₂；
（2）以AC所在的直线为x轴，BD所在直线为y轴建立直角坐标系，如果r₁：r₂=1：2，求经过A、D、C三点的抛物线的函数解析式；
（3）如果（2）所确定的抛物线与以AC为直径的半圆交于另一点E，已知P为上的动点（P与A、E点不重合），连接弦CP交EO₂于F点，设CF=x，CP=y，求y与x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围．

Answer

（1）在以AC为直径的半圆中，连接AD、CD，则∠ADC=90°，根据射影定理即可得出所求的结论．
（2）根据r1：r2=1：2，可知AB：BC=1：2．AC=6，因此AB=2，BC=4．根据射影定理可求得OD=2，由此可得出A、C、D三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（3）连接AP，则∠APC=90°，可通过证△CO2F∽△CAP来得出y，x的函数关系式．
（1）证明：连接AD、DC．
在Rt△ADC中，BD⊥AC
∴DB2=AB•BC
∵AB=2r1，BC=2r2，
∴DB2=4r1r2

（2）【解析】
∵r1：r2=1：2，且2r1+2r2=6
∴r1=1，r2=2
即DB=2
所以A（-2，0）、C（4，0）、D（0，2）
因此设抛物线为y=a（x+2）（x-4）
解得a=-．
所求抛物线解析式为y=-x2+x+2；

（3）【解析】
由（2）可求抛物线的对称轴为x=1
∵抛物线与半圆的另一个交点E应为D点关于x=1的对称点
∴利用对称性可求得E（2，2）
连接PE、EC
由已知可得O2（2，0），故EO2⊥x轴
由垂径定理可知∠P=∠CEO2
（或连接AE，利用∠P=∠EAC=∠CEO2）
∴△ECP∽△FCE
∴
故EC2=FC•CP
设CF=x，CP=y
又在Rt△CEO2中CE2=EO22+O2C2=（2）2+22=12
（或利用EC2=CO2•CA=2×6=12）
∴xy=12，y=（2＜x＜2）．