Question

（2003•福州）已知：如图，等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
（3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）

Answer

（1）可在直角三角形BPE中，用x表示出BE的长；同理在直角三角形ECF中，用EC表示出CF的长；同理在直角三角形AFQ中，用AF表示出AQ的长；而AQ=y，由此可得出y，x的函数关系式．
（2）当P，Q重合时，y+x=2，然后联立（1）的函数式即可求出x的值即BP的长．
（3）当线段PE，FQ相交时，因为∠PEF=∠EFQ=60°，
所以由线段PE，EF，FQ所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于EF长，
由勾股定理得：EF=CF=（1-）；
所以线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长为：C=3EF=3（1-）．
而当线段PE，FQ相交时，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x++≥2，x≥；
所以当线段PE，FQ相交时，（≤x≤2）
因为C=3（1-）中，C随x增大而减小．
所以3（1-）≤C≤3（1-），即≤C≤2；
所以当线段PE，FQ相交时，线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长C的取值范围为≤C≤2．
【解析】
（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2
在△BEP中，∵PE⊥BC，∠B=60°
∴∠BPE=30°，
而BP=x
∴BE=x，
∴EC=2-x
在△CFE中，∵∠C=60°，EF⊥CF
∴∠FEC=30°，
∴FC=1-x
同理，在△FAQ中可得AQ=+x
而AQ=y，
∴y=+x（0＜x≤2）

（2）当点P与点Q重合时，有AQ+BP=AB=2
∴x+y=2（6分）
∴x+y=2，y=+x，解得：x=
∴当BP的长为时，点P与点Q重合；

（3）【解析】
设三角形的周长为C，
当线段PE，FQ相交时，因为∠PEF=∠EFQ=60°，
所以由线段PE，EF，FQ所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于EF长，
由勾股定理得：EF=CF=（1-）；
所以线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长为：C=3EF=3（1-）．
而当线段PE，FQ相交时，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x++≥2，x≥；
所以当线段PE，FQ相交时，（≤x≤2）
因为C=3（1-）中，C随x增大而减小．
所以3（1-）≤C≤3（1-），即≤C≤2；
所以当线段PE，FQ相交时，线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长C的取值范围为≤C≤2．