Question

（2003•南宁）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t₁，t₂时（t₁≠t₂），所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

Answer

（1）要求梯形的面积就要知道两底和高的值，根据动直线的速度，可以用时间表示出OE的长，也就表示出了梯形的高，根据P的速度可用时间t表示出AP，然后根据AO的长得出OP的长，现在关键是底EF的长，由于△AOB是个等腰直角三角形，那么△BEF也应该是个等腰直角三角形，那么BE=EF，有了OB，OE的长，就可以表示出BE，EF的长，这样可根据梯形的面积公式求出梯形的面积，也就求出了梯形的面积与t的函数关系式，就能求出当t=1时梯形的面积，也能求出梯形的最大面积以及对应的t的值；
（2）三角形的面积就是AP•OE÷2，由于（1）中我们得出了梯形的面积与t的函数式，当梯形的面积与三角形的面积相等时，那么这两个式子就相等，可求出此时时间的值．有了时间的直角就求出了OE，PA的值，可通过F引OA的垂线，用直角三角形和勾股定理求出PF的长；
（3）当时间不同时，AP1：AP2=t1：t2，而此时AF1：AF2也正好是t1：t2，那么这两条线段对应成比例而两三角形又共用了这里两组对应线段的夹角，故两三角形相似．
【解析】
（1）S梯形OPFE=（OP+EF）•OE=（25+27）×1=26．
设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y，
则y=（28-3t+28-t）t=-2t2+28t=-2（t-7）2+98，
所以当t=7秒时，梯形OPFE的面积最大，最大面积为98；

（2）当S梯形OPFE=S△APF时，
-2t2+28t=，解得t1=8，t2=0（舍去）．
当t=8秒时，FP=8；

（3）由，
且∠OAB=∠OAB，
可证得△AF1P1∽△AF2P2．