Question

（2003•黑龙江）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=（AB+AC+BC）．
若：（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；
（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），
则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

Answer

（1）都是内角平分线时，可根据等腰三角形三线合一的特点来求解，由于DB平分∠ABC，且AF⊥BD，如果延长AF交BC于K，那么三角形ABK就是个等腰三角形，AF=FK，如果延长AG到H，那么同理可证AG=GH，AC=CH，那么GF就是三角形AHK的中位线，GF就是HK的一半，而HK=BK-BH=BK-（BC-CH），由于BK=AB，CH=AC，那么可得出FG=（AB+AC-BC）；
（2）证法同（1）先根据题目给出的求法，得出GD是AC的一半，然后按（2）的方法，通过延长AF来得出DF是（BC-AB）的一半，由此可得出FG=（BC+AC-AB）．
【解析】
（1）猜想结果：如图结论为FG=（AB+AC-BC）
证明：分别延长AG、AF交BC于H、K，
在△BAF和△BKF中，
∵，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可证，AG=HG，AC=HC
∴FG=HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=（AB+AC-BC）

（2）图3的结论为FG=（BC+AC-AB）．
证明：分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
在△BAF和△BKF中，
∵，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可证，AG=HG，AC=HC，
∴FG=KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB．
∴FG=（BC+AC-AB）．