Question

（2003•哈尔滨）已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x²-2mx+（m-）²+=0的两个根．
（1）当m=2和m＞2时，四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由．
（2）若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB＜CD，求AB、CD的长；
（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan∠BDC和tan∠BCD．

Answer

（1）根据当m=2和m＞2时，方程根的情况来进一步判断AB和CD的数量关系，结合其位置关系，判断该四边形的形状；
（2）根据梯形的对角线的中点所连接的线段等于上下底差的一半，结合根与系数的关系得到关于m的方程，从而求出方程的两个根；
（3）根据梯形的边之间的关系，求得这两个角的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值写出这个一元二次方程．
【解析】
（1）当m=2时，x2-4x+4=0．
∵△=0，方程有两个相等的实数根．
∴AB=CD，此时AB∥CD，则该四边形是平行四边形；
当m＞2时，△=m-2＞0，
又∵AB+CD=2m＞0，
AB•CD=（m-）2+＞0，
∴AB≠CD．
该四边形是梯形．

（2）根据三角形的中位线定理可以证明：连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半．
则根据PQ=1，得CD-AB=2．
根据（1）中的AB+CD和AB•CD的式子得（2m）2-4（m2-m+2）=4，
∴m=3．
当m=3时，则有x2-6x+8=0，
∴x=2或x=4，
即AB=2，CD=4．

（3）根据该梯形是等腰梯形，平移一腰，则得到等边△BEC．
∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．
∵tan∠BDC+tan∠BCD=，
tan∠BDC•tan∠BCD=1．
∴所求作的方程是y2-y+1=0．