Question

（2003•北京）如图所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．请你以F为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连接______；
（2）猜想：______=______；
（3）证明．

Answer

（1）已知条件是AE=CF，那么应构造AE和CF所在的三角形，所以连接BF．
（2）在两个三角形中，已知其他两条边对应相等，那么所求的一定是第三条边对应相等．
（3）利用平行四边形的对边平行且相等，加上已知条件利用SAS可证得这两条边所在的三角形全等，进而求得相应的线段相等．
【解析】
解法一：（如图）

（1）连接BF．
（2）猜想：BF=DE．
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠DAE=∠BCF．
在△BCF和△DAE中，
∴△BCF≌△DAE，
∴BF=DE．

解法二：（如图）

（1）连接BF．
（2）猜想：BF=DE．
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，DO=OB．
∵AE=FC，
∴AO-AE=OC-FC．
∴OE=OF．
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴BF=DE．

解法三：（如图）

（1）连接DF．
（2）猜想：DF=BE．
（3）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB．
∴∠DCF=∠BAE．
在△CDF和△ABE中：，
∴△CDF≌△ABE．
∴DF=BE．