Question

（2003•青岛）巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD．
（1）求BC、AD的长度；
（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°根据三角函数就可以求出BC的长．∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°，即∠ABD=∠ADB根据等角对等边，就可以得到AD=AB．
（2）写出五边形ABPQD的面积S是梯形ABCD的面积与△PCQ的面积的差，梯形ABCD的面积容易得到．△PCQ中PC容易用时间t表示出来，PC边上的高，根据三角形相似就可以表示出来，从而五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式就可以求出来．
（3）线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5，即五边形ABPQD的面积S是梯形面积的或，就可以得到方程，解方程，就可以求出t的值．
【解析】
（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°
∴∠DBC=30°
∴BC=2CD=6cm
由已知得：梯形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠C=60°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°
∴∠ABD=∠ADB
∴AD=AB=3cm

（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t
∴PC=6-2t
过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=t
∴S梯形ABCD-S△PCQ=-（6-2t）t=（2t2-6t+27）（0＜t＜3）

（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5
∵S梯形ABCD=，S△ABD=×3××3
∴S△ABD=×S梯形ABCD
∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的
∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，
即S五边形ABPQD=S梯形ABCD
∴（2t2-6t+27）=×
整理得：4t2-12t+9=0
∴t=，即当t=秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．