Question

（2003•长沙）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
（3）在（1）（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．（计算结果可含根号）

Answer

（1）根据题意可求得：∠AFB=∠D，∠BAF=∠AED，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可证得△ABF∽△EAD；
（2）由直角三角形的性质，即可求得；
（3）根据相似三角形的对应边成比例，求得．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°．
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA．
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED．
∴△ABF∽△EAD．

（2）【解析】
∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴AE===．

（3）【解析】
∵△ABF∽△EAD，
∴．
∴BF=．