Question

（2003•武汉）如图，以直角三角形的两条直角边AC、AB为直径，向三角形内作半圆，两半圆交于点D，CD=1，BD=3，则图中阴影部分的面积为    （平方单位）．

Answer

连接AD，则AD⊥BC，则△ACD∽△BCA；根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AC=2，因而∠B=30度，根据扇形的面积公式就可以求出两个半圆的公共部分的面积．用以AC为直径的半圆的面积，减去公共部分的面积就得到阴影部分的面积．
【解析】
如图，设N是以AC为直径的半圆的圆心，连接ND，M为以AB为直径的半圆的圆心，连接MD，连接AD．
则AD⊥BC，根据射影定理有：
AC2=CD•CB=CD（CD+BD）=4，即AC=2；
同理可求得AB=2；
因此∠ABD=30°，∠ACD=60°；
∴∠AMD=60°，∠AND=120°．
∴扇形MAD中，弓形AD的面积=S扇形MAD-S△MAD=-=-；
同理可求得扇形AND中，S弓形AD=-；
因此S阴影=-（-+-）=-（平方单位）．