Question

（2003•南通）如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=90°，AH⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交⊙O于点F，且AE=BE．
（1）求证：；
（2）若BE•EF=32，AD=6，求BD的长．

Answer

（1）要证就要利用相等的圆周角所对的弧相等来证明，所以连接BH，根据垂径定理可知弧AB=弧BH．因为AE=BE，利用等腰三角形的性质及等量代换就可证明：；
（2）已知BE•EF=32，AD=6，所以可根据相交弦定理求出AE，EH的长，然后再由已知AE=BE求出BE的长，利用勾股定理即可求出BD的长．
（1）证明：连接BH，
根据垂径定理可知弧AB=弧BH，
∴∠BAH=∠BHA．
∵AE=BE，
∴∠BAH=∠ABF．
∴∠BHA=∠ABF．
∴．

（2）【解析】
∵BE•EF=32，
∴AE•EH=32．
∵AD=6，
∴AH=12．
∴AE•（12-AE）=32．
解得AE=4或8，
从图中可知AE=4，DE=2
∵AE=BE，
∴BE=4．
∴BD==2．