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(2002•泸州)已知,如图,AB为半圆O的直径,C为OB上一点,OC:CB=1...

(2002•泸州)已知,如图,AB为半圆O的直径,C为OB上一点,OC:CB=1:3,DC⊥AB交半圆O于D,过D作半圆O的切线交AB的延长线于E.
(1)若BE=12,求半圆O的半径长;
(2)在弧BD上任取一点P(不与B、D重合),连接EP并延长交弧AD于F,设PC=x,EF=y,求y关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.

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(1)是求线段的长,由于题目中给出了两条线段长度的比,所以可以设未知数,利用图形的几何性质构造方程来求解. (2)涉及研究线段与线段函数关系的问题,线段作为变量,解题的关键是用几何定理揭示它们之间的等量关系,列出方程后,再化为函数解析式.实质上还是构造方程,利用方程思想解题. 【解析】 (1)连接OD, 设OC=a,则BC=3a,OD=OB=4a; ∵DE是半圆的切线, ∴OD⊥DE; 又∵DC⊥AB, ∴△OCD∽△ODE, ∴OD2=OC×OE, (4a)2=a×(4a+12), 解得a=0(不合题意,舍去),a=1, ∴OB=4a=4. (2)连接OF; ∵△DCE∽△ODE, ∴DE:OE=CE:DE, ∴DE2=OE×EC; 由切割线定理可得DE2=PE×EF, ∴OE×EC=PE×EF, ∴PE:CE=OE:FE; ∵∠CEP=∠FEO, ∴△CEP∽△FEO, ∴PC:OF=EC:EF, x:4=15:y, ∴y=; 当P取B点时,PC最短,此时PC=3; 当P取D点时,PC最长,此时PC=; ∴3<x<.
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考点分析:
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(1)当PC<AO时,如图1,线段PF与FC的大小关系是______.结合图1,证明你的结论;
(2)当PC>AO时,AP的反向延长线交⊙O于D,其它条件不变,如图2,(1)中所得结论是否仍然成立?
答:______;(不证明)
(3)如图2,当tan∠APB=manfen5.com 满分网,tan∠ABE=manfen5.com 满分网,AP=manfen5.com 满分网时,求PF的长.manfen5.com 满分网
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(1)设AC=x,AB=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当AD与⊙O相切时(如图2),求tanB的值;
(3)当DE=DO时(如图3),求EF的长.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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