Question

（2003•无锡）已知：如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径的半圆O₁和以O₁C为直径的⊙O₂交于点F，连CF并延长交AD于点H，FE⊥AB于点E，BG⊥CH于点G．
（1）求证：BC=AE+BG；
（2）连AF，当正方形ABCD的边长为6时，求四边形ABGF的面积．

Answer

（1）连O1F、BF，利用全等三角形的判定方法可得到，△BGF≌△BEF，再根据全等三角形的性质得到BG=BE从而可得到所求的结论．
（2）连O1H，根据正方形的性质及平行线的性质求得AE等线段的值，再根据三角形的面积公式即可求得四边形ABGF的面积．
（1）证明：连O1F、BF
∵O1C为⊙O2的直径
∴O1F⊥CH
∴CF为⊙O1的切线（1分）
∵∠ABC=90°
∴BC为⊙O1的切线
∴CB=CF
∴∠BFC=∠FBC
∵EF⊥AB
∴EF∥BC
∴∠EFB=∠FBC=∠BFC（2分）
又∵∠BGF=∠BEF=90°，BF=BF
∴△BGF≌△BEF
∴BG=BE
∴BG+AE=BE+AE=AB
∵正方形ABCD
∴BC=AB=BG+AE（3分）

（2）【解析】
∵正方形ABCD的边长为6
∴BC=6，AO1=BO1=3
又∵BC、CF为⊙O1的切线
∴BC=CF，∠BCO1=∠FCO1∴CO1⊥BF，
∵∠O1BC=90°
∴∠O1BF=∠O1CB（4分）
∵∠O1BC=∠AFB=90°
∴△O1BC∽△AFB（5分）
∴
∵在Rt△AFB中，AB=6
∴AF=，BF=（6分）
在Rt△AFB中，EF⊥AB
∴AE=（7分）
∴BE=
∴EF=（8分）
∴S△AEF=，S△BEF=S△BFG=
∴S四边形AFGB=（10分）．