Question

（2003•河南）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于点C、D，O₁O₂⊥AB，垂足为F，过B作⊙O₂的切线BE，切点为E，连接EC、DE，若BE=DE，∠BED=30°，AC、CE的长是方程x²-10x+16=0的两个根（AC＜CE）．
（1）求证：BC=EC；
（2）求⊙O₂的半径．

Answer

（1）根据线切角等于它所夹弧所对的圆周角，得到∠BCE=∠BED，再根据BE=DE，∠BED=30°，得到∠CEB=75°，∠BEC=75°，即可得BC=EC；
（2）先由AC、CE的长是方程x2-10x+16=0的两个根（AC＜CE），求出AC、CE的长，再由O1O2⊥AB，根据垂径定理得到AF=BF，CE=DE，从而可得BD=AC，根据切割线定理求出DE的长，由于BE是圆的切线且∠BED=30°，判断出△DEO2为正三角形，进而求出⊙O2的半径．
（1）证明：∵∠BED=30°，BE=DE，
∴∠BDE=∠EBD=75°．
∵BE是⊙O2的切线，
∴∠BCE=∠BED=30°．
∴在△BCE中
∠CEB=180°-30°-75°=75°，
∴∠CEB=∠BEC．
∴BC=EC．（3分）

（2）【解析】
∵AC、CE的长是方程x2-10x+16=0的两个根且AC＜CE，
∴x1=2=AC，x2=8=CE，（4分）
∵O1O2⊥AB于F，AB是⊙O1的弦，
∴AF=BF；
∵CD是⊙O2的弦，
∴CF=DF，
∴BD=AC=2；                                                            （5分）
∵BC=CE，
∴BC=CE=8，
∵BE是⊙O2的切线，
∴BE2=BD•BC=8×2=16，
∴BE=4，DE=4；                                                               （6分）
连接O2E、O2D，则BE⊥O2E，
∵∠BED=30°，
∴∠DEO2=60°，
∵O2D=O2E，
∴△DEO2为正三角形，
∴O2E=DE=4．                                                                 （8分）