Question

（2003•南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠BAC的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D．
（1）求证：∠DBE=∠DEB；
（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3．求DE的长．

Answer

（1）E是△ABC的内心，AD，BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，又同弦所对的圆周角相等，易证明∠DBE=∠DEB；
（2）AD=8cm，DF：FA=1：3，易知DF=2，∠DBE=∠DEB，即BD=DE，可以通过证明△DBF∽△DAB得出．
（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠EBC，
∴∠DBE=∠DEB；

（2）【解析】
∵AD=8cm，DF：FA=1：3，
∴DF=2，
∵∠DBC=∠DAC，∠BAD=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAB，
∴DB：DA=DF：DB，
∵∠DBE=∠DEB，
∴BD=DE，
∴DE=4．