Question

（2003•天津）已知，如图⊙O₁与⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，B、C为切点．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若r₁、r₂分别为⊙O₁、⊙O₂的半径，且r₁=2r₂．求的值．

Answer

（1）过点A作两圆的内公切线交BC于点O，再利用切线的性质，证明OA=OB=OC即可；
（2）连续OO1、OO2与AB、AC分别交于点E、F，先利用切线的性质证明四边形OEAF是矩形；
再利用三角形的形似、直角三角形的特点和三角函数求出的值．
（1）证明：过点A作两圆的内公切线交BC于点O．
∵OA、OB是⊙O1的切线，
∴OA=OB．
同理OA=OC，
∴OA=OB=OC．
于是△BAC是直角三角形，∠BAC=90°，
所以AB⊥AC．

（2）【解析】
连接OO1、OO2与AB、AC分别交于点E、F．
∵OA、OB是⊙O1的切线．
∴OO1⊥AB，
同理OO2⊥AC．
根据（1）的结论AB⊥AC，可知四边形OEAF是矩形，有∠EOF=90°．
连接O1O2，有OA⊥O1O2．在Rt△O1OO2中，有Rt△O1AO∽Rt△OAO2，
∴，
于是OA2=O1A•O2A=r1•r2=2r22，
∴OA=r2，
又∵∠ACB是⊙O2的弦切角，
∴∠ACB=∠AO2O．
在Rt△OAO2中，tan∠AO2O=，
∴=tan∠ACB=tan∠AO2O=．