Question

（2003•厦门）如图，⊙O₁、⊙O₂相交于点A、B，现给出4个命题：
（1）若AC是⊙O₂的切线且交⊙O₁于点C，AD是⊙O₁的切线且交⊙O₂于点D，则AB²=BC•BD；
（2）连接AB、O₁O₂，若O₁A=15cm，O₂A=20cm，AB=24cm，则O₁O₂=25cm；
（3）若CA是⊙O₁的直径，DA是⊙O₂的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上；
（4）若过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点D，直线DB交⊙O₁于点C，直线CA交⊙O₂于点E，连接DE，则DE²=DB•DC．
则正确命题的序号是______．（在横线上填上所有正确命题的序号）

Answer

（1）根据弦切角定理可以证明：∠BAD=∠C，∠BAC=∠D，则△ABD∽△CBA，从而证明结论；
（2）根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，再结合勾股定理，即可计算；
（3）根据直径所对的圆周角是直角，则∠ABC=90°，∠ABD≠90°，则∠CBD≠180°；
（4）根据切割线定理，得到DA2=DB•DC，所以只需证明DA=DE，即∠DAE=∠AED．
连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论，以及三角形的外角的性质，可以证明．
【解析】
（1）∵AC是⊙O2的切线且交⊙O1于点C，AD是⊙O1的切线且交⊙O2于点D，
∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴AB2=BC•BD；

（2）∵O1O2垂直平分AB，
∴AC=BC=12，
根据勾股定理，得：
O1C=9，O2C=15，
∴O1O2=24；

（3）∵CA是⊙O1的直径，DA是⊙O2的一条非直径的弦，
∴∠ABC=90°，∠ABD≠90°，
∴∠CBD≠180°，
∴C、B、D三点不在同一条直线上；

（4）连接AB，
根据切割线定理，得DA2=DB•DC；
∵AD切⊙O1于A，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠DAE=∠C+∠ADC，∠ABC=∠BAD+∠ADC，
∴∠DAE=∠ABC；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠ABC=∠E，
∴∠DAE=∠E，
∴DE=AD，
∴DE2=DB•DC．
故正确的有（1）（2）（3）（4）．