Question

（2003•大连）问题：要将一块直径为2m的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．
操作：
方案一：在图1中，设计一个圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；
方案二：在图2中，设计一个圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）．
探究：
（1）求方案一中圆锥底面的半径；
（2）求方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面圆心为O₁、O₂，圆锥底面的圆心为O₃，试判断以O₁、O₂、O₃、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．

Answer

（1）当圆锥的底面与半圆内切，且与直径相切时，圆锥底面面积最大，而两个圆柱的底面分别与圆锥底面外切，且与半圆内切，与半圆的直径相切．
（2）当两个圆柱的底面外切，且分别与半圆内切，与半圆的直径相切时，圆柱的底面面积最大，此时圆锥底面与半圆内切，又与两个圆柱底面外切．由圆的对称性质，可知得到以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是正方形．
【解析】
（1）如图，当圆锥的底面与半圆内切且与直径相切时，圆锥底面面积最大，故圆锥的直径是半圆的半径，所以圆锥的半径是0.5m．

（2）如图，当两个圆柱的底面外切，且分别与半圆内切，与半圆的直径相切时，圆柱的底面面积最大，由于该图是关于OC成轴对称图形，且扇形OAC顺时旋转90度后，能与图形也能重合，故有四边形的四边相等，四角为直角，所以是正方形．