Question

（2003•泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB₁A₁的对称轴为y轴．
（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A₂、B₂（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；
（2）连接A₁A₂、B₁B₂（其中A₂、B₂为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A₁A₂、B₁B₂；
（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（-2，4）、B（-4，2），连接（1）中A₂B₂，试问在x轴上是否存在点C，使△A₁B₁C与△A₂B₂C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据中心对称的方法，找点A2，B2，连接即可．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（-x1，y1），B1（-x2，y2），A2（-x1，-y1），B2（-x2，-y2），得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．
（3）根据A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．根据题意得B1（4，2），A2（2，-4）
设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法．解得，所以可求直线A2B1的解析式为y=3x-10．令y=0，得x=，所以C的坐标为（，0）．即点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．
【解析】
（1）如图，A2、B2为所求的点．

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）
依题意与（1）可得A1（-x1，y1），B1（-x2，y2），A2（-x1，-y1），B2（-x2，-y2）
∴A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，
∴x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．

（3）存在符合题意的C点．
由（2）知A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，
∴连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．
∵A（-2，4），B（-4，2）依题意及（1）得：
B1（4，2），A2（2，-4）．
设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有
解得
∴直线A2B1的解析式为y=3x-10，
令y=0，得x=，
∴C的坐标为（，0）
综上所述，点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．