Question

（2003•泰州）如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F．
（1）若AB=4，BC=8，求DF的长；
（2）当DA平分∠EDB时，求的值．

Answer

（1）易证BF=FD，在直角△ABF中，根据勾股定理就可以求出DF的长．
（2）已知DA平分∠EDB，根据矩形的角是直角，就可以求出∠ADB，∠BDC的度数，就可以把求两线段的比值的问题转化为三角函数的问题．
【解析】
（1）∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠FDB，
又∵∠DBC=∠DBE，
∴∠FDB=∠FBD，
∴BF=FD，
设AF=x，则BF=DF=8-x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得到42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
∴DF=8-3=5；

（2）∵DA平分∠EDB，
即∠EDA=∠ADB，
设∠EDA=∠ADB=y°，则∠EDB=2y°，
∴∠BDC=2y°，
∵∠ADC=90°，
∴3y=90°，
解得y=30°，
∴∠DBC=30°，
在Rt△CDB中，tan∠DBC==tan30°=，
又∵AB=CD，
∴=．