（2003•徐州）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，0）．将点P绕着原点...

（2003•徐州）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，0）．将点P绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P₁，延长OP₁到点P=2，使OP₂=2OP₁；再将点P₂绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P₃，延长OP₃到点P₄，使OP₄=2OP₃；…如此继续下去．求：（1）点P₂的坐标；（2）点P₂₀₀₃的坐标．

（1）做P2⊥x轴于一点，利用30°的三角函数可求得P2的横纵坐标．（2）应先找到各个点所在的象限或者坐标轴的位置．相邻的以奇数开头的两个点在同一直线上，可得到24个点将转一圈：即回到x轴．那么应让2003÷24=83…11可得所求的点在x轴的负半轴上．OP2003的长度应和OP2002的长度相等．∵OP2=21=2；OP4=22=4，∴OP2002=21001，进而可得点P2003的坐标．【解析】（1）设P2的坐标为（x，y），作P2M⊥x轴，垂足为M． ∵OP2=2OP1=2OPO=2×1=2．∠P2OM=30°， ∴y=MP2=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=， ∴P2的坐标为（，1）；（2）按照这样的变化规律，点P23、P24又回到了x轴的正半轴上， ∵2003=24×83+11， ∴点P2003落在x轴的负半轴上， ∵OP3=OP2=2，OP5=OP4=22，OP7=OP6=23，… ∴OP2003=OP2002=21001， ∴点P2003的坐标为（-21001，0）．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等