Question

（2003•肇庆）如图，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，FG∥DA与AB交于点G．
求证：（1）BC=BF；（2）GB•DC=DE•BC．

Answer

（1）欲证BC=BF，可证∠BFC=∠BCF．而∠BFC=∠BDC+∠DCF，∠BCF=∠BCE+∠ECF．根据已知条件可知，∠BDC=90°-∠DCE=BCE，∠DCF=∠ECF．所以∠BFC=∠BCF，从而BC=BF．
（2）欲证GB•DC=DE•BC，由BC=BF，即证GB：DE=BF：DC，即证△GBF∽△EDC即可．
证明：（1）∵∠BFC=∠BDC+∠DCF，∠BCF=∠BCE+∠ECF．四边形ABCD为矩形．
∴∠BDC=90°-∠DCE=∠BCE．
∵CF平分∠DCE与DB交于点F．
∴∠DCF=∠ECF．
∴∠BFC=∠BCF．
∴BC=BF．

（2）∵四边形ABCD为矩形．FG∥DA与AB交于点G，CE⊥BD于E．
∴∠DBA=∠CDB，∠CED=∠BGF=90°．
∴△DEC∽△BGF．
∴GB：DE=BF：CD．
∴GB•CD=DE•BF．
∵BC=BF．
∴GB•DC=DE•BC