Question

（2003•黄石）梯形ABCD中AB∥CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所在直线交BC于N．在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题，并证明这个命题．
①AD=BC；②MN⊥BC；③AM=DM．

Answer

可以写出3个命题命题I：1，3，⇒2
由等腰梯形的性质证得△ADH≌△BCH，得∠DAH=∠CBH，在Rt△AHD中，由AM=DM，得出∠MAH=∠MHA，证得△CHN∽△CHN而∠CHB=90°故有∠HNC=90°即MN⊥BC；
命题II：1，2，⇒3
由于Rt△HNC∽Rt△CHB，有∠CHN=∠HBC而∠MAH=∠HBC，得到∠CHN=∠MHA=∠MAH，由等边对等角知，MH=MA，又△DHA为直角三角形，故有AM=DM；
命题III：1，2，⇒3
由于Rt△HNC∽Rt△CHB有∠CHN=∠HBC，在Rt△AHD中，有∠MAH=∠MHA，而∠MHA=∠CHN故有∠DAH=∠CBH得到Rt△DHA∽Rt△CHB
有AD：BC=DH：CH=AH：HB  （1）
又CD∥AB∴△DHC∽△AHB，
有DH：HB=CH：HA（2）
由（1）（2）知AD=BC
【解析】
命题1：1，3，⇒2，
在梯形ABCD中，∵AD=BC，
∴△ADH≌△BCH，
∴∠DAH=∠CBH，
在Rt△AHD中，AM=DM，
∴AM=HM
∴∠MAH=∠MHA，
又∠MHA=∠CHN
∴∠CHN=∠CBH
∴△CHN∽△CHN而∠CHB=90°
∴∠HNC=90°即MN⊥BC，
命题2：1，2，⇒3
∵MN⊥BC，
∴Rt△HNC∽Rt△CHB
∴∠CHN=∠HBC而∠MAH=∠HBC
∴∠CHN=∠MHA=∠MAH，
∴MH=MA，又△DHA为直角三角形，
∴AM=DM，
命题3：1，2，⇒3
∵HN⊥BC，
∴Rt△HNC∽Rt△CHB
∴∠CHN=∠HBC，
又在Rt△AHD中，AM=DM，
∴MH=MA，
∴∠MAH=∠MHA，而∠MHA=∠CHN
∴∠DAH=∠CBH
∴Rt△DHA∽Rt△CHB
∴AD：BC=DH：CH=AH：HB  （1）
又CD∥AB∴△DHC∽△AHB，
∴DH：HB=CH：HA（2）
由（1）（2）知AD=BC