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(2003•苏州)如图1,⊙O的直径为AB,过半径OA的中点G作弦CE⊥AB,在manfen5.com 满分网上取一点D,分别作直线PA、ED,交直线AB于点F、M.
(1)求∠COA和∠FDM的度数;
(2)求证:△FDM∽△COM;
(3)如图2,若将垂足G改取为半径OB上任意一点,点D改取在manfen5.com 满分网上,仍作直线PA、ED,分别交直线AB于点F、M.试判断:此时是否仍有△FDM∽△COM?证明你的结论.

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(1)由于CG⊥OA,根据垂径定理可得出,弧CA=弧AE,那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA,在Rt△COG中,可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°,那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120° (2)在(1)中我们根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线,那么△CMG和△EMG全等,可得出∠CMA=∠EMG,也就可得出∠CMO=∠FMD,在(1)中已经证得∠AOC=∠EDC=60°,那么∠COM=∠MDF,因此两三角形就相似. (3)可按(2)的方法得出∠DMF=∠CMO,关键是再找出一组对应角相等,还是用垂径定理来求,根据垂径定理我们可得出弧AC=弧AE,那么∠AOC=∠EDC,根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM,由此可证出两三角形相似. (1)【解析】 ∵AB为直径,CE⊥AB ∴,CG=EG 在Rt△COG中, ∵OC=OA,OG=OA, ∵OG=OC, ∴∠OCG=30°, ∴∠COA=60°, 又∵∠CDE的度数=的度数=的度数=∠COA的度数=60° ∴∠FDM=180°-∠CDE=120°. (2)证明:∵∠COM=180°-∠COA=120°, ∴∠COM=∠FDM 在Rt△CGM和Rt△EGM中, ∴Rt△CGM≌Rt△EGM(SAS) ∴∠GMC=∠GME 又∵∠DMF=∠GME, ∴△FDM∽△COM. (3)【解析】 结论仍成立. ∵∠EDC的度数=的度数=的度数=∠COA的度数, ∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM ∵AB为直径, ∴CE⊥AB, 在Rt△CGM和Rt△EGM中, ∴Rt△CGM≌Rt△EGM(SAS) ∴∠GMC=∠GME ∴△FDM∽△COM.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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