Question

（2003•辽宁）（1）如图（a），已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC、AD．求证：①∠BAD=∠CAG；②AC•AD=AE•AF；
（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其他条件不变．
①请你在图（b）中画出变化后的图形，并对照图（a），标记字母；
②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer

（1）①可连接BD，由四边形ACDB是圆的内接四边形得出∠DBA=∠ACG，根据等角的余角相等即可得出∠BAD=∠CAG，
②根据所求的比例线段可得出，要证的实际是△FAC和△DAE相似．根据圆周角定理可得出∠AFC=∠ADC．而由①得出的相等角可知，它们的补角也应相等，因此∠DAE=∠CAF，由此可得证．
（2）同（1）①的方法类似，只不过由圆内接四边形的外角得出的角相等变成了由弦切角定理得出．其他步骤一样．（也可以连接OC，通过平行和等边对等角来求证）
②方法同（1）②一样，因此（1）中所求的结论均成立．
【解析】
（1）证明：
①连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠AGC=∠ADB=90°．
又∵ACDB是⊙O内接四边形，
∴∠ACG=∠B．
∴∠BAD=∠CAG．
②连接CF，
∵∠BAD=∠CAG，∠EAG=∠FAB，
∴∠DAE=∠FAC．
又∵∠ADC=∠F，
∴△ADE∽△AFC．
∴．
∴AC•AD=AE•AF．

（2）①如图；
②两个结论都成立，证明如下：
①连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACB=∠AGC=90°．
∵GC切⊙O于C，
∴∠GCA=∠ABC．
∴∠BAC=∠CAG（即∠BAD=∠CAG）．
②连接CF，
∵∠CAG=∠BAC，∠GCF=∠GAC，
∴∠GCF=∠CAE，∠ACF=∠ACG-∠GCF，∠E=∠ACG-∠CAE．
∴∠ACF=∠E．
∴△ACF∽△AEC．
∴．
∴AC2=AE•AF（即AC•AD=AE•AF）．