Question

（2003•烟台）如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：AC²=AB•AD；
（2）若将直线CD向上平移，交⊙O于C₁、C₂两点，其它条件不变，可得到图2所示的图形，试探索AC₁、AC₂、AB、AD之间的关系，并说明理由；
（3）把直线C₁D继续向上平移，使弦C₁C₂与直径AB相交（交点不与A、B重合），其它条件不变，请你在图3中画出变化后的图形，标好相应字母，并试着写出与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．

Answer

（1）连接BC，根据两个角对应相等证明△ACD∽△ABC即可；
（2）根据（1）的思路，只需把四条线段放到两个三角形△ADC2和△AC1B中，证明两个三角形相似，即可得到线段之间的关系；
（3）画出正确图形后，同样把线段放到两个三角形中，通过证明三角形相似得到结论．
（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°（1分）
∵AD⊥CD
∴∠ADC=90°
∴∠ACB=∠ADC（2分）
又∵CD切⊙O于C
∴∠ACD=∠B
∴△ACD∽△ABC（3分）
∴
∴AC2=AB•AD；（4分）

（2）【解析】
关系：AC1•AC2=AB•AD．（5分）
理由是：连接BC1，
∵四边形ABC1C2是圆内接四边形
∴∠AC2D=∠B（6分）
同（1）有∠ADC2=∠AC1B
∴△ADC2∽△AC1B（7分）
∴
∴AC1•AC2=AB•AD；（8分）

（3）【解析】
如右图，（9分）
结论是：AC1•AC2=AB•AD，
证明：连接BC1，
同（1）有∠ADC2=∠AC1B
又∵∠C2=∠B（10分）
∴△ADC2∽△AC1B（11分）
∴
∴AC1•AC2=AB•AD．（12分）