Question

（2003•大连）已知：如图1，给出下列6个论断，①AB是⊙O₁的直径；②EC是⊙O₁的切线；③AC是⊙O₂的直径；④BC•EC=DE•BD；⑤DE∥BC；⑥DE•BC=2CE²．
（1）将6个论断中的3个作为题设，2个论断作为结论，写出一个真命题，并加以证明；
（2）如果AB不是⊙O₂直径（如图2），你能否再从其余5个论断中选取一个论断作为题设，一个论断作为结论，使其成为真命题（不要求证明）？若能，请写出两个；若不能，请你再添加一个条件，写出两个真命题．

Answer

（1）把①AB是⊙O1的直径；②EC是⊙O1的切线；③AC是⊙O2的直径作为条件，把⑤DE∥BC，⑥DE•BC=2CE2作为结论；
（2）从条件中选一个，根据题意进行推理，观察能得到什么结论，再根据余下的条件进行证明．
【解析】
连接AE，
∵AC为⊙O直径
∴∠AEC=∠ADC=90°
∴△AEC≌△ADC
∴CD=CE，EF=DF=ED；
（1）∵EC为⊙O1切线
∴∠ECA=∠ABC
∵∠EDA+∠CAD=90°，∠ABC+∠CAD=90°
∴∠EDA=∠ABC
∴ED∥BC
故⑤DE∥BC成立
∵△CFD∽△BDC
∴=
又∵CD=CE，DF=ED
∴DE•BC=2CE2
故⑥DE•BC=2CE2，成立；

（2）能，
（Ⅰ）②EC是⊙O1的切线作条件，⑤DE∥BC作结论，
证明：
∵EC是⊙O1的切线
∴∠ECA=∠CBA
∵同弧所对的圆周角相等
∴∠ECA=∠ADE
∴∠CBA=∠ADE
∴DE∥BC；
（Ⅱ）①AB是⊙O1的直径作为条件，⑥DE•BC=2CE2作为结论，
∵AC为⊙O2直径
∴△CFD∽△BDC
∴=
又∵CD=CE，DF=ED
∴DE•BC=2CE2．