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(2005•常德)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,⊙O的割线PDE垂直A...

(2005•常德)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,⊙O的割线PDE垂直AB于点F,交BC于点G,连接PC,∠BAC=∠BCP,求解下列问题:
(1)求证:CP是⊙O的切线.
(2)当∠ABC=30°,BG=manfen5.com 满分网,CG=manfen5.com 满分网时,求以PD、PE的长为两根的一元二次方程.
(3)若(1)的条件不变,当点C在劣弧AD上运动时,应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO成立?试写出你的猜想,并说明理由.

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(1)连接OC,证∠OCP=90°即可; (2)根据已知条件发现等边三角形CPG,则PC=CG.根据切割线定理求得PD和PE的积;再根据等边三角形的性质和30°的直角三角形的性质求得PD,PE的长,从而写出方程; (3)要让此结论成立,只要证明△BFG∽△BGO即可,凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以. (1)证明:连接OC, ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°. ∵∠OCB=∠B,∠BAC=∠BCP, ∴∠OCP=90°. ∴CP是⊙O的切线. (2)【解析】 ∵∠B=30°, ∴∠A=60°,∠BGP=∠B+∠BFP=120°. ∴∠CGP=60°, ∴∠BCP=∠CGP=60°. ∴△CPG是正三角形. ∴PG=CP=. ∵PC切⊙O于C, ∴PC2=PD•PE=. 又∵BC=, ∴AB=12,FD=,FG=. ∴PD=2. ∴PD+PE=. ∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2-10x+48=0. (3)【解析】 当G为BC中点,OG⊥BC,OG∥AC或∠BOG=∠BAC时, 结论BG2=BF•BO成立.要让此结论成立,只要证明△BFG∽△BGO即可,凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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