Question

（2003•厦门）如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O₁与⊙O的弦AC相交于点D．
（1）设弧BC的长为m₁，弧OD的长为m₂，求证：m₁=2m₂；
（2）若BD与⊙O₁相切，求证：BC=AD．

Answer

（1）连接OC，O1D，根据已知条件和圆心角与圆周角的关系可以得到弧BC，弧OD所对的弧的度数相同，根据弧长公司计算就可以证明结论；
（2）利用切线的性质和直径所对的圆周角是90°可以证明∠CBD=∠CAB，然后证明△ACB∽△BCD，再根据相似三角形的性质对应边成比例得到BC2=AC•CD，而OD⊥AC，据垂径定理知道D是AC的中点，这样就可以证明题目结论．
证明：（1）连接OC，O1D．
∵∠COB=2∠CAB，∠DO1O=2∠DAO，
∴∠COB=∠DO1O记∠COD的度数为n，
则∠DO1O的度数也为n，
设⊙O1的半径为r，⊙O的半径为R，
由题意得，R=2r，
∴m1==2m2．

（2）连接OD，
∵BD是⊙O1的切线，
∴BD⊥O1D．
∴∠BDO1=90°．
而∴∠CBD+∠BDC=90°，∠ADO1=∠CBD，
又∵∠DAO1=∠ADO1，
∴∠DAO1=∠CBD，
∴△ACB∽△BCD
∴
∵AO是⊙O1的直径，
∴∠ADO=90°．
∴OD⊥AC．
∴D是AC的中点，即AC=2CD=2AD．
∴BC2=AC•CD=2AD2，
∴BC=AD．