（2003•绍兴）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问...

（2003•绍兴）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG= manfen5.com 满分网

PD，求△POD与△PDG的面积之比；
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．
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（1）①可通过构建全等三角形来求解；②可根据相似比来求面积比．（2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时；【解析】（1）①证明：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90° ∴∠HPC+∠CPN=90° ∵∠CPN+∠NPD=90° ∴∠HPC=∠NPD ∵OM是∠AOB的平分线 ∴PH=PN 又∵∠PHC=∠PND=90° ∴△PCH≌△PDN ∴PC=PD ②∵PC=PD ∴∠PDG=45° ∵∠POD=45° ∴∠PDG=∠POD ∵∠GPD=∠DPO ∴△POD∽△PDG ∴．（2）①若PC与边OA相交， ∵∠PDE＞∠CDO 令△PDE∽△OCD ∴∠CDO=∠PED ∴CE=CD ∵CO⊥ED ∴OE=OD ∴OP=ED=OD=1 ②若PC与边OA的反向延长线相交过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N， ∵∠PED＞∠EDC 令△PDE∽△ODC ∴∠PDE=∠ODC ∵∠OEC=∠PED ∴∠PDE=∠HCP ∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND ∴HC=ND，PC=PD ∴∠PDC=45° ∴∠PDO=∠PCH=22.5° ∴∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=22.5° ∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON= ∴HC=DN=OD-ON=1- ∵HC=HO+OC=+x ∴1-=+x ∴x= 即OP=

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考点分析：

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？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等