Question

（2003•常德）如图1，D是△ABC的BC边上的中点，过点D的一条直线交AC于F，交BA的延长线于E，AG∥BC交EF于G，我们可以证明EG•DC=ED•AG成立（不要求考生证明）．
（1）如图2，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则EG•DC=ED•AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说出理由；
（2）根据图2，请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系，并给出证明；
（3）如图3，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的反向延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？

Answer

（1）由于BD=DC，那么本题要证得实际是三角形EAG和EBD相似，因为AG∥BD由此可得证．
（2）本题要根据两组相似三角形来求解，根据AG∥DC，得出的相似三角形FGA和FDC，可得出FG：FD=AG：DC，根据△EAG∽△BED可得出GE：ED=AG：BD，由于BD=CD，将相等值进行替换即可得出FG，FD，EG，ED的比例关系．
（3）成立，和（2）的证法完全一样．
【解析】
（1）成立．
证明：∵AG∥BC，
∴△EAG∽△EBD．
∴EG：ED=AG：BD．
即EG•BD=ED•AG．
∵BD=CD，
∴EG•CD=ED•AG．

（2）FG•ED=FD•EG．
证明：∵AG∥BC，
∴△FGA∽△FDC．
∴FG：FD=AG：DC．
∵BD=DC，
∴FG：FD=AG：BD．
由（1），得EG：ED=AG：BD．
∴FG：FD=EG：ED，即FG•ED=FD•EG．

（3）成立，证明过程同（2）．