Question

（2003•十堰）已知二次函数y=ax²-5ax+b（a≠0）与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴交于点C，其中0＜x₁＜x₂，线段AB的长为3，O为坐标系原点，且有tan∠OAC=2，tan∠OBC=，求此二次函数解析式．

Answer

根据∠OAC和∠OBC的正切值，可用|b|表示出OB，OA的长，即x2，x1的值，根据AB=3，可求出|b|的值．
令y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，根据韦达定理和AB=3即可求出a的值．由此可得出二次函数的解析式．
【解析】
当x=0时，y=b．
∴C点坐标为（0，b），OC=|b|．
又∵A（x1，0）B（x2，0）0＜x1＜x2．
∴OA=x1，OB=x2；
tan∠OAC===2，∴x1=；
tan∠OBC===，∴x2=2|b|．
∴x2-x1=2|b|-==AB=3，
∴|b|=2，b=±2．
∵抛物线y=ax2-5ax+b（a≠0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），且0＜x1＜x2；
∴x1+x2=5，x1•x2=，
∴（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2=25-=9，
∴a=，
∴当b=2时，a=，当b=-2时，a=-，
∴所求的抛物线的解析式为y=x2-x+2或y=-x2+ax-2，经检验知上述两条抛物线均符合题意．