Question

（2003•常州）当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想．
（1）设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m、x的关系式；
（2）当a=2.5，b=2，m=1.6，求：
（ⅰ）点E和墙壁距离x；
（ⅱ）最大视角∠PEQ的度数．（精确到1度）

Answer

（1）可根据切割线定理得出HE2=HQ•HP，HE=x，然后根据PR=a，QR=b，HR=m，来表示出HQ，HR，即可得出这四个未知数的关系式．
（2）①根据（1）中得出的关系式，将a、b、m的值代入其中即可得出x的值．
②可先在直角三角形PEH中求出∠PEH的度数，然后在直角三角形HEQ中求出∠HEQ的度数，这两个角的差就是∠PEQ的度数．
【解析】
（1）由题意可知：据PR=a，QR=b，HR=m，HE=x，
∴HQ=QR-HR=b-m，PH=PR-HR=a-m，
∵HE是圆O的切线，
∴HE2=HQ•HP，
∴x2=（a-m）（b-m）．

（2）①根据（1）中得出的x2=（a-m）（b-m），
∴x2=（2.5-1.6）×（2-1.6）=0.36，
∴x=0.6．
②在直角三角形PHE中，EH=0.6，PH=0.9，
∴tan∠PEH==，
因此∠PEH≈56.3°；
在直角三角形HQE中，QH=0.4，EH=0.6，
∴tan∠HEQ==，
因此∠HEQ≈33.7°；
∴∠PEQ=∠PEH-∠HEQ=56.3-33.7=22.6°．