Question

（2002•苏州）已知关于x的方程
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x₁，x₂满足|x₂|=|x₁|+2，求m的值及相应的x₁、x₂．

Answer

（1）根据方程根的判别式判断根的情况，只要证明判别式△的值恒为正值即可；
（2）|x2|=|x1|+2，即|x2|-|x1|=2，两边平方后再配方得（x1+x2）2-4|x1x2|=4，再根据根与系数的关系用m表示出两根的和与两根的积，代入得到关于m的方程，即可求得m的值．
【解析】
（1）∵a=1，b=-（m-2），c=，
∴△=b2-4ac=[-（m-2）2]-4×1×（）
=2m2-4m+4=2（m-1）2+2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵a=1，b=-（m-2），c=-，
∴x1+x2=m-2，
∵方程总有两个的实数根
∴x1•x2=-≤0，
∴x1与x2异号或有一个为0，由|x2|=|x1|+2，|x2|-|x1|=2，
当x1≥0，x2＜0时，-x2-x1=2，即-（m-2）=2，解得m=0，
此时，方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=-2；
当x1≤0，x2＞0时，x2+x1=m-2=2，解得m=4，
当m=4时，x2-2x-4=0，
∴x1=1-，x2=1+．