Question

（2002•包头）已知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，c≠0）的两个实数根，且（m≠0，n≠0）．
（1）试求用m和n表示的式子；
（2）是否存在实数m和n，满足使成立？若存在，求出m和n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由一元二次方程的根与系数的关系得到x1+x2=-①，x1x2=②，由已知变形后代入①②，联立方程，消去x，就可得到值．
（2）由于=成立，设出适当的参数，建立关于以m+n和mn为两根的新的一元二次方程，求得其△的符号后，来判定根的情况后，决定是否存在m，n的值．
【解析】
（1）由题意得，x1+x2=-①，x1x2=②．
由=，得x1=x2③．
把③代入①，得x2=-．
把③代入②得x22=．
消去x2，得=．

（2）若=成立，
设（m+n）2=6k，mn=5k（k＞0）．
则m+n=±，mn=5k．
若m，n存在，应是方程x2±z+5k=0的根．
∵△=（±）2-20k=-14k＜0（k＞0）．
∴m、n不存在．