Question

（2002•烟台）如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动（点M与点A、B不重合），MN∥BC，MN交AC于点N，连接BN．设=x，S_△MBN=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）点E、F分别是边AB，AC的中点，设△MBN与△EBF的公共部分的面积为S，试用含x的代数式表示S；
（3）当第（2）问中的S=时，试确定x的值．（不必写出解题过程）

Answer

（1）由MN∥BC可知△AMN∽△ABC，得到S△AMN：S△ABC=（）2，即S△AMN：5=x2，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S△MBN=-5x2+5x，即y=-5x2+5x（0＜x＜1）；
（2）根据FE∥BC∥MN可知，
①当0＜x≤时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△MBN相似，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S=；
②当＜x＜1时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△EBF相似，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S=5（1-x）2；
（3）当S=时，x=或x=．
【解析】
（1）∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC
∴S△AMN：S△ABC=（）2，
即S△AMN：5=x2，
∵S△MBN：S△AMN=-1，
∴S△MBN=-5x2+5x
∴y=-5x2+5x（0＜x＜1）；

（2）∵E、F分别是边AB，AC的中点，∴FE∥BC∥MN，
①当0＜x≤时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△MBN相似，
∴y：S=4（1-x）2，∴S=，
②当＜x＜1时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△EBF相似，
∴S：S△BEF=4（1-x）2，
∵S△BEF=，
∴S=5（1-x）2；

（3）当S=时，x=或x=．