Question

（2002•西城区）已知：在平面直角坐标系xoy中，点A（0，4），点B和点C在x轴上（点B在点C的左边），点C在原点的右边，作BE⊥AC，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D．若BD=AC
（1）求点B的坐标；
（2）设OC长为m，△BOD的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当m=5时，求点D的坐标及sin∠BDO的值．

Answer

（1）分两种情况，
①当B在原点左边时，利用同角的余角相等，得到∠1=∠2，再证△AOC≌△BOD，得到OA=OB，因为A（0，4），所以B（-4，0）；
②当B在原点右边时，同①可证OA=OB=4，所以B（4，0）；
（2）分两种情况：当B在原点左侧时，因为△AOC≌△BOD，所以OC=DO=m，即可得到S=OB•OD=2m（0＜m＜4）；当B在原点右侧时，同理可得S=2m（m＞4）；
（3）因为m=5时，OD=OC=5，D只能在原点下方，所以D（0，-5），在Rt△BOD中，由勾股定理得BD，即可求出答案．
【解析】
（1）根据题意，分两种情况：
①当B在原点左边时，如图1，
∵∠AOC=∠BOD=90°，∠1+∠3=∠3+∠2，
∴∠1=∠2，
∵AC=BD，
∴△AOC≌△BOD，
∴OA=OB，
∵A（0，4），
∴B（-4，0）；
②当B在原点右边时，同①可证OA=OB=4，
∴B（4，0）
∴B（-4，0），或（4，0）；

（2）当B在原点左侧时，
∵△AOC≌△BOD，
∴OC=DO=m，
∴S=OB•OD=2m（0＜m＜4），
当B在原点右侧时，同理可得S=2m，（m＞4），
∴S=2m，（m＞0，m≠4）；

（3）当m=5时，OD=OC=5，
根据题意，D只能在原点下方，
∴D（0，-5），
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD=，
∴sin∠BDO=．