Question

（2002•泉州）已知：直线l的解析式为y=x+m（m为常数，m≠0），点（-4，3）在直线l上．
（1）求m的值；
（2）若⊙A的圆心为原点，半径为R，并且⊙A与直线l有公共点，试求R的取值范围；
（3）当（2）中的⊙A与l有唯一公共点时，将此时的⊙A向左移动（圆心始终保持在x轴上），试求在这个移动过程中，当直线l被⊙A截得的弦的长为时圆心A的坐标．

Answer

（1）可将点（-4，3）代入直线l的解析式中，求出m的值．
（2）⊙A与直线l有公共点，则圆与直线l相交或相切，求此时R的取值范围，就必须求出圆心到直线l的距离．过A作AD⊥直线l与D，设直线交x轴于B，交y轴于C，有直线l的解析式，可得出B，C的坐标，那么就有了OB，OC的长，根据勾股定理就能求出BC的长，根据直角三角形ABC的面积的不同的表示方法，可求出AD的长，即圆心到直线L的距离，然后根据圆与直线相交或相切，则圆的半径≥圆到直线的距离．
（3）可过A作直线L的垂线，有被截得弦的长度，有圆的半径，那么圆心到直线的距离就能求出来了，然后根据直线l与x轴的夹角的正弦值，用圆到直线的距离求出AB的长，然后根据B点的坐标即AB的长，求出A到原点的距离，从而求出A的坐标．
【解析】
（1）根据题意，得：3=（-4）+m，解得：m=6．

（2）直线l的解析式为y=x+6，如图（1），设直线l分别于x轴，y轴交于B，C两点．
令x=0，得y=6；令y=0，得x=-8．
∴B，C坐标分别为B（-8，0），C（0，6）．即AB=8，AC=6．
在直角三角形ABC中，BC==10．
过点A作AD⊥BC于D．
∵AD•BC=AC•BD，
∴AD=．
又直线l与⊙A有公共点，即l与OA相切或相交，
∴R≥．

（3）当（2）中⊙A与l有惟一公共点时，⊙A与l相切，
∴R=．
将该圆向左移动直线l被⊙A截得的弦的长为时，设截得的弦为DE，那么DE=，
过A作AF⊥DE于F，根据垂径定理EF=DF=，
直角三角形AFE中，AE=R=，AF==4．
直角三角形CDO中，tan∠CBO==，因此sin∠CBO=．
直角三角形FBA中，AF=4，sin∠CBO=．AB=AF÷sin∠CBO=．
因此，OA=OB-AB=8-=，
当A在B的左侧时，BA′=BA=8-，
即OA′=8+（8-）=14，
因此A点的坐标是（，0）或（-14，0）．