Question

（2007•肇庆）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2a，CD=a，BC=2，四边形BEFG是矩形，点E、F分别在腰BC、AD上，点G在AB上．设FG=x，矩形BEFG的面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，求x的值；
（3）当∠DAB=30°时，矩形BEFG是否能成为正方形？若能，求其边长；若不能，请说明理由．

Answer

（1）过点D作DH⊥AB于H．由于△AGF∽△AHD，得到AG的值，有BG=AB-AG，再利用y=S矩形=FG•BG而得到y关于x的函数关系式．
（2）求得梯形的面积，由矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半建立方程，求得x的值．
（3）由正切的概念可得到CD=2，从而得到EF＞2＞FG，故矩形BEFG不能成为正方形．
【解析】
（1）过点D作DH⊥AB于H，
∵在矩形BEFG中，FG⊥AB，所以FG∥DH，
∴△AGF∽△AHD，
∴，
即，得，
∴．
因此，
∵y=FG•BG=x×=-ax2+2ax，
即所求的函数关系式为y=-ax2+2ax （0＜x＜2）．

（2）依题意，得-ax2+2ax=×（a+2a）×2，
因为a≠0，解以上方程得，x1=1，x2=3．
因为0＜x≤2，所以x=3舍去，取x=1．
故当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，x的值为1．

（3）矩形BEFG不能成为正方形．
在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，∴，即
EF≥CD=a=2，即EF＞2．
又∵0＜x≤2，即0＜FG≤2，∴EF＞FG，
因此矩形BEFG不能成为正方形．