Question

（2002•湛江）已知以x为自变量的二次函数y=x²-（2m-2）x+（m²-m-2）的图象经过原点O，并与x轴相交于点M，且M在原点的右边．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y=kx+b的图象经过点M，与这个二次函数的图象交于点N，且△OMN的面积等于3，求这个一次函数的解析式．

Answer

（1）已知函数图象经过原点，可将原点坐标代入抛物线的解析式中，可求得m的值，然后根据函数与x轴的另一交点在原点右边，可将不合题意的m的值舍去．
（2）可根据三角形OMN的面积求得N点的纵坐标的绝对值，然后将其代入抛物线的解析式中即可求得N点的坐标，根据M、N两点的坐标即可求出直线的解析式．
【解析】
（1）∵二次函数y=x2-（2m-2）x+（m2-m-2）的图象经过原点O，
∴m2-m-2=0，解得m=-1，m=2．
当m=-1时，二次函数的解析式为y=x2+4x，它的图象经过原点，并与x轴相交于原点左边的点（-4，0），（不合题意，舍去）；
当m=2时，二次函数的解析式为y=x2-2x，它的图象经过原点，并与x轴相交于原点右边的点（2，0），符合题意，所以所求的二次函数的解析式为y=x2-2x．

（2）由（1）中二次函数y=x2-2x，它的图象经过原点，且与x轴相交于点M（2，0），
设点N的坐标为（x，y），则S△OMN=×2×|y|=3，
∴|y|=3，
∵二次函数y=x2-2x的图形是开口向上，顶点为（1，-1）的抛物线；
∴抛物线上没有纵坐标为-3的点，
∴y=3，
当y=3时，x2-2x=3，解得x=3，x=-1．
则点N1（3，3），N2（-1，3）．
当函数y=kx+b的图形经过点M（2，0），N1（3，3）时，则：
，
解得；
∴所求一次函数的解析式为y=3x-6．
当函数y=kx+b的图形经过点M（2，0），N2（-1，3）时，则：
，
解得，
∴所求一次函数的解析式为y=-x+2．