Question

（2002•南通）设抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，2），B（2，-1）两点，且与y轴相交于点M．
（1）求b和c（用含a的代数式表示）；
（2）在抛物线y=ax²-bx+c-1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线y=ax²+bx+c上，试判断直线AC和x轴的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）把A（-1，2），B（2，-1）两点分别代入抛物线y=ax2+bx+c，即可用a表示出b、c的值．
（2）把（1）中所求b、c的值及x=y代入抛物线y=ax2-bx+c-1，即可求出符合条件的点的坐标．
（3）把（2）中所求的两点分别代入（1）中抛物线的解析式，即可求出未知数的值，从而求出其解析式，根据其解析式可求出函数图象与y轴的交点坐标，根据其纵坐标于A点纵坐标的关系即可判断出直线AC与x轴的关系．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，2），B（2，-1）两点，
∴，
解得．
（2）由（1）得，抛物线y=ax2-bx+c-1的解析式是y=ax2+（a+1）x-2a=x，
即ax2+ax-2a=0，
∵a是抛物线解析式的二次项系数，
∴a≠0，
∴方程的解是x1=1，x2=-2，
∴抛物线y=ax2-bx+c-1满足条件的点的坐标是P1（1，1），P2（-2，-2）．
（3）由（1）得抛物线y=ax2+bx+c的解析式是y=ax2-（a+1）x+1-2a，
①当P1（1，1）在抛物线C1上时，有a-（a+1）+1-2a=1，
解得a=-，这时抛物线y=ax2+bx+c的解析式是y=-x2-x+2，它与y轴的交点是C（0，2）
∵点A（-1，2），C（0，2）两点的纵坐标相等，
∴直线AC平行于x轴．
②当P2（-2，-2）在抛物线C1上时，由4a+2（a+1）+1-2a=-2，
解得a=-，这时抛物线的解析式为y=-x2+x+，它与y轴的交点是C（0，）显然A、C两点的纵坐标不相等，
∴直线AC与x轴相交，
综上所述，当P1（1，1）在抛物线C1上时，直线AC平行x轴；当P2（-2，-2）在抛物线y=ax2+bx+c上时，直线AC与x轴相交．