（2002•杭州）已知二次函数y=x2+ax+a-2 （1）证明：不论a取何值，...

（2002•杭州）已知二次函数y=x²+ax+a-2
（1）证明：不论a取何值，抛物线y=x²+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方；
（2）设抛物线y=x²+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由．

（1）要证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方，只要证明抛物线与x轴，有两个不同的交点，即证明x2+ax+a-2=0有两个不同的解．即判别式大于0即可．（2）Q是抛物线的顶点，C、D的横坐标相同，因而C、D一定关于对称轴对称，因而△CDQ一定是等腰三角形．如果三角形是等边三角形，则Q作QP⊥CD，垂足为P，则需QP=CD，CD、QP的长度都可以用a表示出来，因而就可以得到一个关于a的方程，就可以求出a的值．证明：（1）：∵判别式△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0， ∴抛物线与x轴总有两个不同的交点．又∵抛物线开口向上， ∴抛物线的顶点在x轴下方．或由二次函数解析式得：y=（x+）2-a2+a-2． ∵抛物线的顶点坐标-a2+a-2=-[（a-2）2+1]＜0，当a取任何实数时总成立． ∴不论a取任何值，抛物线的顶点总在x轴下方．（2）由条件得：抛物线顶点Q（-，-a2+a-2），点C（0，a-2），当a≠0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线交于另一个点D，此时CD=|-a|，点Q到CD的距离为|（a-2）-（-a2+a-2）|=a2，自Q作QP⊥CD，垂足为P，要使△QCD为等边三角形，则需QP=CD，即a2=|-a|， ∵a≠0， ∴解得a=±2，（或由CD=CQ，或由CP=，CQ等求得a的值）， ∴△QCD可以是等边△，此时对应的二次函数解析式为y=x2+2x+2-2或y=x2-2x-2-2．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等