(2002•贵阳)如图,在直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为C(4,-
),且在x轴上截得的线段AB的长
为6.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设抛物线与y轴的交点为D,求四边形DACB的面积;
(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PAC被x轴平分?如果存在,请求出P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
考点分析:
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(2004•呼和浩特)阅读下列材料:
如图1,⊙O
1和⊙O
2外切于点C,AB是⊙O
1和⊙O
2外公切线,A、B为切点,
求证:AC⊥BC
证明:过点C作⊙O
1和⊙O
2的内公切线交AB于D,
∵DA、DC是⊙O
1的切线
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°.
即AC⊥BC.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容;
(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(-4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax
2+bx+c的函数解析式;
(3)根据(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O
1O
2上,并说明理由.
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(2002•哈尔滨)如图,抛物线y=ax
2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=2时,y的值相等.直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点,其中一点的横坐标是4,另一点是这条抛物线的顶点M.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为线段BM上一点,过点P向x轴引垂线,垂足为Q.若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合),设OQ的长为t,四边形PQAC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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(2002•海淀区)已知:二次函数y=x
2-kx+k+4的图象与y轴交于点C,且与x轴的正半轴交于A、B两点(点A在点B左侧).若A、B两点的横坐标为整数,
(1)确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标;
(2)若点D的坐标是(0,6),点P(t,0)是线段AB上的一个动点,它可与点A重合,但不与点B重合.设四边形PBCD的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)若点P与点A重合,得到四边形ABCD,以四边形ABCD的一边为边,画一个三角形,使它的面积等于四边形ABCD的面积,并注明三角形高线的长.再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识,画一个三角形,使它的面积等于四边形ABCD的面积(画示意图,不写计算和证明过程).
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(2002•海南)已知二次函数y=
x
2-x+m的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于B、C两点(点B在C的左边),P为它的顶点.
(1)试确定m的值;
(2)设点D为线段OC上的一点,且满足∠DPC=∠BAC,求直线AD的解析式.
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(2002•杭州)已知二次函数y=x
2+ax+a-2
(1)证明:不论a取何值,抛物线y=x
2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方;
(2)设抛物线y=x
2+ax+a-2与y轴交于点C,如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点,并设另一个交点为点D,问:△QCD能否是等边三角形?若能,请求出相应的二次函数解析式;若不能,请说明理由.
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