Question

（2002•鄂州）已知抛物线y=mx²-2mx+4m-与x轴的两个交点的坐标为A（x₁，0），B（x₂，0）（x_l＜x₂），且x₁²+x₂²=34．
（1）求m，x₁，x₂的值；
（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在，请求出所有点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）本题要根据韦达定理来求解，先表示出x1+x2和x1•x2的值，然后代入x12+x22=34中即可求出m的值，进而可求出x1，x2的值．
（2）如果△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形，那么∠CBA=30°，即直线BC的斜率为，据此可求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出C点的坐标，然后判断AC是否等于BC或AB是否等于BC即可，再利用C点可能在x轴上方，分别求出即可．
【解析】
（1）令y=0，则有：0=mx2-2mx+4m-；
∴x1+x2=8，x1•x2=
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=64-2×=34
解得m=
∴y=x2-x+5
∴x2-x+5=0，
解得x1=3，x2=5
（2）假设存在符合条件的C点，那么∠CBA=30°，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则k=tan30°=，已知B（5，0）
∴y=x-
联立抛物线的解析式有：

解得：，
∴存在符合条件的C点，坐标为（4，-）．
如图所示：
当AB=BC′时，过点C′作C′E⊥x轴于点E，
∵∠ABC′=120°，则∠C′BE=60°，
∴∠BC′E=30°，
∴BE=BC′=1，
∴EC′=，
∴C′（6，）．
当AC″=AB时，C″（2，）．
综上所述：C点坐标为：（4，-），（6，），（2，）．